L'hypothèse d'un ensemble fini des nombres de Mersenne premiers : une étude analytique

Table des rangs des exposants

L'utilisation de la bibliothèque sympy m'a permis de trouver facilement le rang de chaque exposant des nombres de  Mersenne premiers:

from sympy import isprime, primepi
import pandas as pd

# Création du DataFrame
data = {
    "Rang_Mersenne": range(1, 52),
    "Exposant": [
        2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279,
        2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701,
        23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433,
        1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011,
        24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801,
        43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933
    ]
}
df_Mersenne = pd.DataFrame(data)

# Fonction pour obtenir le rang du nombre premier
def get_prime_rank(n):
    return primepi(n) if isprime(n) else None

# Ajout de la colonne 'rang_prime_number' avec les rangs calculés
df_Mersenne['rang_prime_number'] = df_Mersenne['Exposant'].apply(get_prime_rank)

# Affichage du DataFrame
df_Mersenne

Ce qui permet de trouver cette table:

Éléments de corrélation et linéarité entre le rang et l’exposant

Une première analyse de l’évolution des nombres de Mersenne premiers en fonction de leur rang, tel que montré sur le graphique de linéarité, révèle une corrélation très forte entre le rang d’un nombre de Mersenne et son exposant p.

En effet, dès les premiers nombres, cette corrélation est supérieure à 0,98, ce qui suggère une relation remarquablement stable et linéaire entre ces deux valeurs.

À mesure que la taille de l’échantillon augmente, le coefficient de corrélation entre le rang et l’exposant tend vers 1. Cette tendance linéaire est de plus en plus prononcée, comme le démontre le graphique montrant cette convergence de la corrélation. Avec un ensemble de taille 20, le coefficient atteint déjà 0,998, et pour les ensembles plus vastes, la valeur du coefficient s’approche de 0,9997.

Le modèle de régression polynomiale de degré 2 (y=ax2+bx+c) a relevé que les coefficients a et c sont presque nulles.  

Ce qui revient à dire qu'une régression linéaire suffit pour établir une relation entre l'exposant des nombres actuels de Mersennes premiers et le rang :  y = bx où b= 15.5291233.

Nous avons donc :   y ≈ 15.5291 x

Interprétation de la linéarité : une relation quasi-prédictive

La linéarité quasi-parfaite entre le rang et l’exposant des nombres de Mersenne connus laisse entrevoir une certaine prévisibilité dans la distribution de ces nombres premiers. Si cette relation était effectivement linéaire et si l'ensemble de ces nombres était potentiellement fini, cela signifierait qu'il existerait un nombre maximal d'exposants premiers p capables de produire un nombre de Mersenne premier, au-delà duquel les nombres ne répondraient plus à cette particularité. Ce postulat nous amène à la conjecture d'un potentiel "dernier" nombre de Mersenne premier.

Implications théoriques d’un ensemble fini

Si l’ensemble des nombres de Mersenne premiers est fini, cela entraînerait plusieurs conséquences intéressantes :

1. Limite de la recherche algorithmique : Actuellement, des ressources de calcul considérables sont investies dans la recherche de nouveaux nombres de Mersenne. Une finitude impliquerait que cette quête pourrait effectivement aboutir, libérant ainsi des ressources pour d’autres explorations mathématiques.

2. Impact sur la théorie des nombres : La finitude des nombres de Mersenne premiers remettrait en question certaines hypothèses sur la distribution des nombres premiers et pourrait ouvrir la voie à des recherches sur d’autres types de nombres premiers, à l’instar des nombres de Fermat ou des nombres premiers de Sophie Germain.

3. Utilisation dans la cryptographie : Bien que les nombres de Mersenne ne soient pas directement utilisés dans les algorithmes cryptographiques courants, leur rareté et leur prévisibilité pourraient fournir un cadre pour explorer de nouvelles méthodes de sécurisation basées sur des nombres rares ou particuliers.

Argument en faveur de la finitude des nombres de Mersenne premiers

L’observation de la corrélation linéaire presque parfaite est-elle un signe que l’ensemble des nombres de Mersenne premiers est intrinsèquement limité ? Plusieurs arguments peuvent être avancés :

• Limite algorithmique : Plus les nombres de Mersenne augmentent, plus il est difficile de trouver des exposants premiers p qui satisfont la formule  M_p=2^p−1 . Les tests de primalité deviennent de plus en plus coûteux et complexes, et il est possible qu’au-delà d’un certain seuil, aucun nouvel exposant premier ne donne un nombre de Mersenne premier.

• Analyse empirique de la convergence : En observant la convergence vers 1 du coefficient de corrélation entre le rang et l’exposant, il semble que la relation entre les deux variables soit stabilisée pour un grand nombre de points, suggérant une forme de saturation. Ce constat pourrait être interprété comme un indicateur que le processus a atteint sa limite théorique ou pratique.

Conclusion

La possibilité d’un ensemble fini des nombres de Mersenne premiers offre une perspective nouvelle dans le domaine de la théorie des nombres. En analysant la forte corrélation entre le rang et l’exposant de ces nombres, il devient tentant de croire que nous approchons peut-être des dernières valeurs répondant à la formule de Mersenne. Si tel est le cas, il se pourrait qu’un "dernier" nombre de Mersenne premier soit découvert, au-delà duquel aucun nouvel exposant ne serait trouvé.

Les graphiques présentés ici illustrent l’évolution de la corrélation et la linéarité entre le rang et l’exposant, et renforcent cette hypothèse. Tandis que la quête se poursuit, les résultats empiriques et théoriques nous laissent envisager une nouvelle dimension de finitude dans ce qui était perçu comme une quête sans fin.

Etant donné que je suis un simple analyste de données tourné plus sur le côté techniqueque théorique, je me suis hasardé sur ce terrain d'analyse mathématique . La recherche d'une corrélation entre un nombre qui fait partie d'une liste notoire et le rang du nombre premier qui a servit comme exposant pour le trouver est loin de paraitre se loger dans une formule mathématique rigoureuse. Mais mon statut de simple analyste ne m'oblige pas à une certaine retenue académique qui me limiterait dans une recherche que j'espère fructueuse.